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日志

 
 

一个感情故事中的有穷与无穷  

2005-05-15 21:00:34|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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小狗和旋木

以上,引用一个朋友的感情小文。望误见怪拉,哈哈。

为什么小狗总是说不过马呢?根本原因在于,小狗说的总是一个有限区间,也就是区间的端点是有穷的,而木马说的却是个无穷,或者是之前有限区间的倍数。由此,引出了数学中纠缠已久的有限与无限的思想。

有限个有限区间的并集还是有限区间,因此对于无限,在传统上总认为是不能达到的,因此没有纳入正常运算中。但是,无穷与无穷之间真的一样么?

想象集合:自然数集{1,2,3...},整数集{...-2,-1,0,1,2...}。很明显,这三个集合中的元素个数都是无穷的。但是如果问,这三个集合元素个数哪个多,哪个少,答案如何呢?很明显,自然数集属于整数集,而整数即属于有理数集,是否可以因此认为自然数集元素最少,而有理数集元素最多呢?

可惜,数学界不是这么想的。如果要定义多或者少,首先应该定义相等的概念,这是两者的分界点。在有穷集里定义的相等实际是个相互对应的关系,也就是一一映射的关系。现在用这个关系考察前述的三个集合:假设自然数1对应整数0,自然数中的偶数按绝对值大小顺序对应整数集里的正整数,自然数中的奇数(除了1)按绝对值大小顺序对应整数集里的负整数,这样就可以建立自然数集和整数集的一一映射。这时,惊异的发现,原来自然数集和整数集的个数原来是相等的……

可以证明,整数集和有理数集的个数也是相等的。这种元素个数相等的集合在数学上称为集合的对等。数学定义自然数集的元素个数为阿列夫0(那个符号我写不出来……)。

因为自然数的元素个数是无穷个,因此之前定义的阿列夫0实际上是一个无穷大的数。而且,并不是所有的无穷都是阿列夫0,比如闭区间集合[0,1],其中包含的元素个数被定义为阿列夫(注意没有0),也是一个无穷数。可见,无穷与无穷也是不一样的。

嗯……写太多了,就先讨论到这吧……(其实是知识有限,写不下去了='=)

回到题目,给那篇文章狗尾续貂:

(懂数学的木马)小狗回头说:我爱你,像整数集里元素的个数那么多……木马转了个身:我爱你,像实数集里元素的个数……还要多……

(不懂数学的木马)小狗回头说:我爱你,像整数集里元素的个数那么多……木马转了个身:我爱你,像有理数集里元素的个数……还要多……

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