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日志

 
 

哥德尔不完备定理  

2005-06-21 22:07:34|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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数理逻辑中,哥德尔不完备定理库尔特·哥德尔1930年证明并发表的两条定理。简单地说,第一条定理指出:

任何一个兼容的数学形式化理论中,只要它强到足以在其中定义自然数的概念,就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。

这条定理是在数学界以外最著名的定理之一,也是误解最多的定理之一。形式逻辑中有一条定理也同样容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理,但事实上是错误的。稍后我们可以看到一些对哥德尔定理的误解

把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后,哥德尔证明了他的第二条定理。该定理指出:

任何兼容的形式体系不能用于证明它本身的兼容性。

这个结果破坏了数学中一个称为希尔伯特计划的哲学企图。大卫·希尔伯特(David Hilbert)提出,象实分析那样较为复杂的体系的兼容性,可以用较为简单的体系中的手段来证明。最终,全部数学的兼容性可以归结为基本算术的兼容性。但哥德尔的第二条定理证明了基本算术的兼容性不能在自身内部证明,因此当然就不能用来证明比它更强的系统的兼容性了。

偶然看到,暂记于此,以便以后有时间时研究。

出自http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%A4%87%E5%AE%9A%E7%90%86

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