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日志

 
 

关于罗素悖论  

2005-07-01 19:17:33|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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同学偶然在blog里帖了篇有关悖论的文章,见下面的连接:
 
 
关于语义悖论,俺研究不深,但关于集合悖论,也就是著名的罗素悖论还是小有研究的(无非就是看了实变和泛函的结果,嘿嘿)。
 
罗素悖论的起因要一直追溯到集合论的创立。最早系统创立集合论的是著名的..........(省略形容词若干)康托。此君曾以非常独特得手段,构造了被后人称作康托三分集的集合,开创了现代分形数学的基础。康托三分集最独特之处在于:此集合中点的个数与集合[0,1]中点的个数相同,但长度却为0,而且,此集合中的点都是孤立的(不连续的),但在每个点周围任意小的范围内,都有无穷个属于同一集合的点。不过,康托三分集与罗素悖论关系不大,留到以后有心请了再议。
 
康托创立集合论之初,给集合下定义为:一组符合同一明确命题的事物的总体,记做{x|P(x)},其中P(x)为一明确命题。之后,人们围绕集合讨论许久,就在人们逐渐接受经典集合论的时候,又跳出了一位神人,便是.......(再次省略形容词若干)罗素。
 
罗素提出了一个集合:设X为一集合,则命题:X不属于X为一明确命题(注意,是“不属于”,不是“不包含于”,也就是说,X不是集合X中的一个元素)。由此可以构建一个集合:Y={X|X为一集合,且X不属于集合X}。问:对于集合Y,Y是否属于Y?(抱歉,没找到“不属于”的符号,文字的看起来实在不美观,凑合了)
 
由此,引出了悖论问题。对于理发师问题,X={给自己理发的人},理发师要给属于集合{X不属于X}的人理发,因此遇上了罗素悖论。
 
数学界当然不会坐视此种悖论于不顾,经过几派的纷争,终于,公理集合论逐渐占了上风,形成主流。其对集合的“定义”(姑且还使用定义这个词吧):集合是一种天然(或曰原始)存在的概念,不能被定义,只能被描述。由此,这种罗素悖论式的集合是天然不存在的,能够表述这种集合的原因在于语义悖论的存在。这样,公理集合论成功的(或者按照俺的说法“擦屁股式的”)将集合悖论抛给了语义悖论。
 
至于语义悖论,貌似有种解释是说这种悖论的存在是因为将不同层次上的逻辑判断混淆在一起做比较,如果强要将不同层次的判断叠加在一起,必然会产生悖论。这个不是逻辑的错误,而是逻辑应用的错误。
 
以上关于语义悖论的观点,俺没有仔细研究过,姑且听之。写道这里,收到一条短信:根据您的历史充值记录,赠给您话费20元。瓦咔咔卡,rp好就是没办法!
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